Riesz表示定理

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Riesz表示定理，Riesz Representation Theorem Riesz表示定理是Hilbert空间理论中最深刻的定理之一，它建立了Hilbert空间与其对偶空间之间的同构关系。这个定理不仅在泛函分析中有基本重要性，还在量子力学、偏微分方程、信号处理等领域有广泛应用。

一、问题的背景

1.1 对偶空间的概念

定义：赋范线性空间 $X$ 的对偶空间 $X^{*}$ 是所有连续线性泛函的集合：

X^{*} = {f : X \to C : f 是连续线性的}

范数：对 $f \in X^{*}$ ，定义：

∥ f ∥ = sup_{∥ x ∥ \leq 1} | f (x) | = sup_{∥ x ∥ = 1} | f (x) |

例子：

在 $R^{n}$ 中，每个线性泛函形式为 $f (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i}$
在 $C [a, b]$ 中， $I (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ 是连续线性泛函

1.2 核心问题

问题：给定Hilbert空间 $H$ ，如何描述其所有连续线性泛函？

在有限维空间 $R^{n}$ 中：

每个线性泛函 $f : R^{n} \to R$ 形式为 $f (x) = ⟨ x, y ⟩$
其中 $y = (f (e_{1}), \dots, f (e_{n}))$ ， ${e_{i}}$ 是标准基

Riesz表示定理告诉我们：这在无穷维Hilbert空间中也成立！

二、Riesz表示定理的陈述

2.1 定理陈述

定理（Riesz表示定理）：设 $H$ 是Hilbert空间。对每个连续线性泛函 $f \in H^{*}$ ，存在唯一的 $y \in H$ 使得：

f (x) = ⟨ x, y ⟩, \forall x \in H

且满足：

∥ f ∥ = ∥ y ∥

几何意义：每个连续线性泛函都是**"取内积"**运算。

符号：常用记号 $f = ⟨ \cdot, y ⟩$ 表示泛函 $f$ 。

2.2 证明

证明（存在性）：

步骤1：若 $f = 0$ （零泛函），取 $y = 0$ ，则 $⟨ x, 0 ⟩ = 0 = f (x)$ ，且 $∥ f ∥ = 0 = ∥ 0 ∥$ 。

步骤2：假设 $f \neq 0$ 。令 $M = \ker f = {x \in H : f (x) = 0}$ 。

$M$ 是闭线性子空间：
- 线性性：若 $x_{1}, x_{2} \in M$ ，则 $f (α x_{1} + β x_{2}) = α f (x_{1}) + β f (x_{2}) = 0$
- 闭性： $f$ 连续 $⟹ M = f^{- 1} ({0})$ 是闭集

步骤3：取 $z \in M^{⊥}$ 且 $∥ z ∥ = 1$ （ $z$ 存在因为 $f \neq 0$ ）。

为什么存在？因为 $M \neq H$ （ $f \neq 0$ ），故 $M^{⊥} \neq {0}$

步骤4：令 $y = \overset{―}{f (z)} z$ ，验证 $f (x) = ⟨ x, y ⟩$ 对所有 $x \in H$ 。

对任意 $x \in H$ ，由投影定理， $x$ 可唯一分解为：

x = u + α z, u \in M, α \in C

其中 $α = ⟨ x, z ⟩$ （因为 $z ⊥ M$ ）。

计算：

f (x) = f (u) + α f (z) = 0 + α f (z) = ⟨ x, z ⟩ f (z) = ⟨ x, \overset{―}{f (z)} z ⟩ = ⟨ x, y ⟩

步骤5：验证 $∥ f ∥ = ∥ y ∥$ 。

由Cauchy-Schwarz不等式：

| f (x) | = | ⟨ x, y ⟩ | \leq ∥ x ∥ ∥ y ∥ ⟹ ∥ f ∥ \leq ∥ y ∥

取 $x = y$ ：

| f (y) | = | ⟨ y, y ⟩ | = ∥ y ∥^{2} ⟹ ∥ f ∥ \geq \frac{| f (y) |}{∥ y ∥} = ∥ y ∥

因此 $∥ f ∥ = ∥ y ∥ = | f (z) |$ 。∎

证明（唯一性）：

假设 $y_{1}, y_{2}$ 都满足条件：

⟨ x, y_{1} ⟩ = ⟨ x, y_{2} ⟩, \forall x \in H

则：

⟨ x, y_{1} - y_{2} ⟩ = 0, \forall x \in H

取 $x = y_{1} - y_{2}$ ，得 $∥ y_{1} - y_{2} ∥^{2} = 0$ ，故 $y_{1} = y_{2}$ 。∎

三、对偶空间的刻画

3.1 Riesz同构

定理：映射 $Φ : H \to H^{*}$ 定义为：

Φ (y) = ⟨ \cdot, y ⟩

是共轭线性等距同构。

性质：

共轭线性： $Φ (α y_{1} + β y_{2}) = \overset{―}{α} Φ (y_{1}) + \overset{―}{β} Φ (y_{2})$
等距： $∥ Φ (y) ∥ = ∥ y ∥$
满射：对任意 $f \in H^{*}$ ，存在 $y \in H$ 使得 $f = Φ (y)$
双射：由唯一性保证

注：共轭线性是因为：

Φ (α y) (x) = ⟨ x, α y ⟩ = \overset{―}{α} ⟨ x, y ⟩ = \overset{―}{α} Φ (y) (x)

3.2 Hilbert空间的自反性

推论：Hilbert空间是自反的，即：

H^{* *} ≅ H

证明： $H^{*} ≅ H$ （共轭线性同构） $⟹ H^{* *} ≅ H^{*} ≅ H$ 。∎

意义：Hilbert空间的对偶对 $(H^{*}, H)$ 有完美的对称性。

3.3 与Banach空间的对比

Banach空间：对偶空间 $X^{*}$ 通常不同构于 $X$ 。

例子：

$ℓ^{1} \neq (ℓ^{1})^{*} = ℓ^{\infty}$ （不对等）
$L^{1} \neq (L^{1})^{*} = L^{\infty}$ （不对等）
$c_{0} \neq (c_{0})^{*} = ℓ^{1}$ （不对等）

Hilbert空间： $H^{*} ≅ H$ （完美对应！）

四、应用

4.1 量子力学

量子态的对偶性：

刃矢（ket） $| ψ ⟩ \in H$ ：Hilbert空间中的向量
刃矢（bra） $⟨ ϕ | \in H^{*}$ ：对偶空间中的线性泛函

Dirac记号：

⟨ ϕ | ψ ⟩ = 泛函 ⟨ ϕ | 作用在 | ψ ⟩ 上

Riesz表示定理：

⟨ ϕ | \in H^{*} ⟺ \exists | ϕ ⟩ \in H : ⟨ ϕ | ψ ⟩ = ⟨ ψ, ϕ ⟩

物理意义：

$⟨ ϕ | ψ ⟩$ 是态 $| ψ ⟩$ 在态 $| ϕ ⟩$ 方向上的"投影幅"
$| ⟨ ϕ | ψ ⟩ |^{2}$ 是测量概率

4.2 偏微分方程

弱解：利用Riesz表示定理证明Lax-Milgram定理。

Lax-Milgram定理：设 $a (u, v)$ 是Hilbert空间 $V$ 上的有界双线性形式，满足：

有界性： $| a (u, v) | \leq C ∥ u ∥ ∥ v ∥$
强制性（椭圆性）： $a (v, v) \geq α ∥ v ∥^{2}$

则对任意 $f \in V^{*}$ ，存在唯一 $u \in V$ 使得：

a (u, v) = f (v), \forall v \in V

证明思路：

对固定 $u$ ， $a (u, \cdot)$ 是连续线性泛函
由Riesz表示定理，存在 $A u \in V$ 使得 $a (u, v) = ⟨ v, A u ⟩$
证明 $A : V \to V$ 是同胚
存在唯一 $u = A^{- 1} f$

应用：椭圆型偏微分方程弱解的存在唯一性。

4.3 信号处理

相关函数：对固定信号 $y$ ，定义泛函：

f_{y} (x) = ⟨ x, y ⟩

由Riesz表示定理，所有连续线性泛函都这种形式。

匹配滤波：在噪声中检测信号 $s (t)$ ，最优滤波器响应为：

y (t) = \int x (τ) \overset{―}{s (t - τ)} d τ = ⟨ x, s ⟩

这是内积运算！

4.4 最优控制

线性二次调节器（LQR）：最优控制律形式为：

u^{*} (t) = - R^{- 1} B^{T} P x (t)

其中 $P$ 是Riccati方程的解。这个形式本质上是对偶映射。

4.5 统计学

协方差算子：对随机过程 ${X_{t}}$ ，定义协方差算子 $C : H \to H$ ：

⟨ C x, y ⟩ = E [⟨ X, x ⟩ ⟨ X, y ⟩]

这利用了Riesz表示定理将双线性形式转化为算子。

五、推广

5.1 Riesz表示定理（测度论版本）

定理：设 $X$ 是局部紧Hausdorff空间。 $C_{c} (X)$ （紧支集连续函数空间）上的正线性泛函 $L$ 可以表示为：

L (f) = \int_{X} f (x) d μ (x)

其中 $μ$ 是正则Borel测度。

意义：建立了线性泛函与测度之间的对应关系。这是测度论的基础定理。

5.2 Banach空间的表示定理

问题：在一般Banach空间中，对偶空间如何表示？

答案：通常没有像Riesz表示定理这样简洁的表示。

例子：

$(ℓ^{p})^{*} = ℓ^{q}$ （ $1 / p + 1 / q = 1$ ， $1 < p < \infty$ ）
$(L^{p})^{*} = L^{q}$ （ $1 / p + 1 / q = 1$ ， $1 < p < \infty$ ）
$(C [a, b])^{*} = 有界变差函数空间$

这些表示都复杂得多。

5.3 Hahn-Banach定理

定理：设 $M$ 是赋范线性空间 $X$ 的子空间， $f_{0} \in M^{*}$ 。则 $f_{0}$ 可以延拓为 $f \in X^{*}$ 使得：

f |_{M} = f_{0}, ∥ f ∥ = ∥ f_{0} ∥

与Riesz表示定理的关系：

Hahn-Banach：泛函的存在性
Riesz：Hilbert空间泛函的具体表示

应用：分离定理、凸分析、优化理论。

六、复数与实数情况的区别

6.1 复Hilbert空间

在复Hilbert空间中，Riesz映射 $Φ : H \to H^{*}$ 是共轭线性的：

Φ (α y) = \overset{―}{α} Φ (y)

6.2 实Hilbert空间

在实Hilbert空间中，Riesz映射 $Φ : H \to H^{*}$ 是线性的：

Φ (α y) = α Φ (y)

因此，在实Hilbert空间中， $H$ 与 $H^{*}$ 是真正的线性同构。

参考链接

参考文献

Rudin, W. (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill.
Reed, M., & Simon, B. (1980). Functional Analysis (Vol. 1). Academic Press.
Lax, P. D. (2002). Functional Analysis. Wiley-Interscience.
Brezis, H. (2011). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer.
Dirac, P. A. M. (1958). The Principles of Quantum Mechanics (4th ed.). Oxford University Press.